Conseils utiles

Axe de symétrie

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Sections: Maths

Objectifs:

  • éducatif:
    • donner une idée de la symétrie,
    • Présenter les principaux types de symétrie sur le plan et dans l'espace,
    • développer de fortes compétences dans la construction de figures symétriques,
    • développer des idées sur des personnages célèbres en introduisant des propriétés liées à la symétrie,
    • montrer les possibilités d'utiliser la symétrie pour résoudre divers problèmes,
    • consolider les connaissances acquises,
  • enseignement général:
    • vous apprendre à vous préparer au travail,
    • vous apprendre à vous contrôler et à contrôler votre désir,
    • vous apprendre à vous évaluer et à évaluer votre voisin au bureau,
  • en développement:
    • intensifier les activités indépendantes,
    • développer l'activité cognitive,
    • apprendre à résumer et à systématiser les informations reçues,
  • éducatif:
    • d'éduquer les étudiants avec un "sens de l'épaule",
    • cultiver la communication,
    • inculquer une culture de la communication.

Avant chaque mensonge, des ciseaux et une feuille de papier.

- Prenez un morceau de papier, pliez-le en deux et découpez une forme. Développez maintenant la feuille et observez la ligne de pliage.

Question: Quelle est la fonction de cette ligne?

Réponse estimée: Cette ligne divise le chiffre en deux.

Question: Comment sont tous les points de la figure sur les deux moitiés?

Réponse estimée: Tous les points des moitiés sont à égale distance de la ligne de pliage et au même niveau.

- Ainsi, la ligne de pliage divise la figure en deux, de sorte que 1 moitié est une copie de 2 moitiés, c.-à-d. cette ligne n'est pas simple, elle a une propriété remarquable (tous les points qui la concernent sont à la même distance), cette ligne est l'axe de symétrie.

- Couper un flocon de neige, trouver l’axe de symétrie, le caractériser.

- Trace un cercle dans le cahier.

Question: Détermine comment passe l'axe de symétrie?

Réponse estimée: De différentes manières.

Question: Alors combien d’axes de symétrie un cercle a-t-il?

Réponse estimée: Beaucoup

- C'est vrai, un cercle a plusieurs axes de symétrie. Une balle tout aussi remarquable est une balle (figure spatiale)

Question: Quelles autres formes ont plus d'un axe de symétrie?

Réponse estimée: Carrés, rectangles, triangles isocèles et équilatéraux.

- Considérons les figures volumétriques: cube, pyramide, cône, cylindre, etc. Ces figures ont aussi un axe de symétrie. Déterminez combien d'axes de symétrie ont un carré, un rectangle, un triangle équilatéral et les formes volumétriques proposées?

Je distribue aux étudiants la moitié des chiffres de la pâte à modeler.

- En utilisant les informations reçues, ajoutez la partie manquante de la figure.

Note: la figure peut être à la fois plane et volumétrique. Il est important que les étudiants déterminent le sens de l'axe de symétrie et ajoutent l'élément manquant. L'exactitude de l'implémentation détermine le voisin sur le bureau et évalue la qualité du travail.

De la dentelle de la même couleur sur le bureau disposé une ligne (fermée, ouverte, avec auto-intersection, sans auto-intersection).

Tâche 5(travail de groupe 5 min).

- Déterminez visuellement l'axe de symétrie et complétez, par rapport à lui, la deuxième partie à partir de la dentelle de couleur différente.

La correction du travail effectué est déterminée par les étudiants eux-mêmes.

Les élèves sont présentés avec des éléments de dessins.

- Trouvez les parties symétriques de ces motifs.

Pour consolider le matériel, je propose les tâches suivantes, d’une durée de 15 minutes:

1. L'opération directe est l'axe de symétrie du triangle KOM.

Nommez tous les éléments égaux du triangle KOR et KOM. Quelle est l'apparence de ces triangles?

2. Dans le cahier, tracez plusieurs triangles isocèles ayant une base commune de 6 cm.

3. Tracez la ligne AB. Construisez une ligne droite perpendiculaire au segment AB et passant par son milieu. Marquez les points C et D dessus pour que le quadrilatère ACBD soit symétrique par rapport à la ligne AB.

- Nos idées initiales sur la forme appartiennent à une époque très lointaine de l’âge de pierre: le paléolithique. Pendant des centaines de millénaires de cette période, les gens vivaient dans des grottes, dans des conditions qui différaient peu de la vie des animaux. Les gens fabriquaient des outils pour la chasse et la pêche, développaient un langage permettant la communication entre eux et, au cours du Paléolithique supérieur, ils ornaient leur existence, créant des œuvres d'art, des figurines et des dessins dans lesquels un sens merveilleux de la forme est trouvé.
Quand la transition de la simple collecte de nourriture à sa production active s'est opérée, de la chasse et de la pêche à l'agriculture, l'humanité est entrée dans le nouvel âge de pierre, le néolithique.
L'homme néolithique avait un sens aigu de la forme géométrique. La torréfaction et la peinture de vases en argile, la confection de nattes en roseau, de paniers, de tissus, le traitement ultérieur des métaux ont développé des idées sur les figures planes et spatiales. Les ornements néolithiques ont ravi l'œil, révélant l'égalité et la symétrie.
- Et où se trouve la symétrie dans la nature?

Réponse estimée: ailes de papillons, coléoptères, feuilles d'arbres ...

- La symétrie peut être observée dans l'architecture. Lors de la construction de bâtiments, les constructeurs adhèrent clairement à la symétrie.

Par conséquent, les bâtiments sont si beaux. Un autre exemple de symétrie est l'homme, les animaux.

1. Pour inventer votre propre ornement, représentez-le sur une feuille de format A4 (vous pouvez dessiner sous forme de tapis).
2. Dessine des papillons, note où il y a des éléments de symétrie.

Utilisation du terme dans d'autres domaines scientifiques

À l'avenir, la symétrie sera considérée du point de vue de la géométrie, mais il convient de mentionner que ce mot n'est pas utilisé uniquement ici. Biologie, virologie, chimie, physique, cristallographie - tout ceci est une liste incomplète de domaines dans lesquels ce phénomène est étudié sous différents angles et dans différentes conditions. Par exemple, la classification dépend de la science à laquelle ce terme fait référence. Ainsi, la division en types varie considérablement, bien que certains des principaux restent peut-être inchangés partout.

Classification

Il existe plusieurs types de base de symétrie, parmi lesquels on en trouve le plus souvent:

  • Miroir - observé par rapport à un ou plusieurs plans. En outre, le terme est utilisé pour indiquer le type de symétrie lorsqu'une transformation telle que la réflexion est utilisée.
  • Rayon, radial ou axial - il y a plusieurs options dans divers

De plus, les types suivants se distinguent également en géométrie, on les trouve beaucoup moins souvent, mais non moins curieux:

  • coulissant
  • rotationnel
  • point
  • progressive
  • visser
  • fractale
  • etc.

En biologie, toutes les espèces sont appelées de manière quelque peu différente, même si en réalité elles peuvent être identiques. La division en certains groupes se produit sur la base de la présence ou de l'absence, ainsi que du nombre de certains éléments, tels que les centres, les plans et les axes de symétrie. Ils devraient être considérés séparément et plus en détail.

Éléments de base

Certaines caractéristiques se distinguent dans le phénomène, dont l’une est nécessairement présente. Les éléments dits de base comprennent les plans, les centres et les axes de symétrie. C'est en fonction de leur présence, de leur absence et de leur quantité que le type est déterminé.

Un centre de symétrie est un point à l'intérieur d'une figure ou d'un cristal au niveau duquel des lignes convergent, reliant deux à deux tous les côtés parallèles les uns aux autres. Bien sûr, cela n'existe pas toujours. S'il y a des côtés sur lesquels il n'y a pas de paire parallèle, alors un tel point ne peut pas être trouvé, car il n'y en a pas. Selon la définition, il est évident que le centre de symétrie est celui par lequel la figure peut être réfléchie sur elle-même. Un exemple est, par exemple, un cercle et un point en son milieu. Cet article est généralement appelé C.

Le plan de symétrie, bien sûr, est imaginaire, mais c’est lui qui divise la figure en deux parties égales. Il peut passer par un ou plusieurs côtés, être parallèle et diviser. Pour une même figure, plusieurs plans peuvent exister à la fois. Ces éléments sont communément appelés P.

Mais le plus commun est peut-être ce qu'on appelle "l'axe de symétrie". Ce phénomène commun peut être vu à la fois dans la géométrie et dans la nature. Et cela mérite une considération séparée.

Souvent, un élément par rapport auquel la figure peut être appelée symétrique,

Les exemples sont les triangles isocèles et équilatéraux. Dans le premier cas, il y aura un axe de symétrie vertical, de part et d'autre, sur lequel les faces sont égales, et dans la deuxième ligne, elles se coupent à chaque coin et coïncident avec toutes les bissectrices, les médianes et les hauteurs. Les triangles ordinaires ne l'ont pas.

En passant, la totalité de tous les éléments ci-dessus en cristallographie et en stéréométrie s'appelle le degré de symétrie. Cet indicateur dépend du nombre d'axes, de plans et de centres.

Exemples de géométrie

Classiquement, on peut diviser l’ensemble des objets d’étude des mathématiciens en chiffres ayant un axe de symétrie et ceux qui ne le possèdent pas. Tous les polygones réguliers, cercles, ovales, ainsi que certains cas spéciaux entrent automatiquement dans la première catégorie, tandis que les autres appartiennent au deuxième groupe.

Comme dans le cas où nous avons parlé de l'axe de symétrie d'un triangle, cet élément pour un quadrilatère n'existe pas toujours. Pour un carré, un rectangle, un losange ou un parallélogramme, c'est, sauf pour une figure irrégulière, respectivement, non. Pour un cercle, l'axe de symétrie est l'ensemble des lignes qui passent par son centre.

De plus, il est intéressant de considérer les chiffres volumétriques de ce point de vue. En plus de tous les polygones réguliers et d'une boule, certains cônes, ainsi que des pyramides, des parallélogrammes et d'autres, posséderont au moins un axe de symétrie. Chaque cas doit être considéré séparément.

Exemples dans la nature

La symétrie miroir dans la vie s'appelle bilatérale, on la trouve plus
souvent. Toute personne et autant d'animaux en sont un exemple. Axial est appelé radial et est beaucoup moins répandu, généralement dans le monde végétal. Et toujours ils sont. Par exemple, il est utile de prendre en compte le nombre d'axes de symétrie d'une étoile et est-ce qu'elle les a? Nous parlons bien sûr de la vie marine et non du sujet d'étude des astronomes. Et la bonne réponse serait la suivante: cela dépend du nombre de rayons de l'étoile, par exemple cinq, si elle est à cinq branches.

De plus, on observe une symétrie radiale dans de nombreuses fleurs: camomille, bleuet, tournesol, etc. Il existe un grand nombre d'exemples, ils sont littéralement partout.

Ce terme rappelle tout d’abord la médecine et la cardiologie, mais a au départ une signification légèrement différente. Dans ce cas, le synonyme est "asymétrie", c'est-à-dire l'absence ou la violation de la régularité sous une forme ou une autre. Cela peut être considéré comme un accident et parfois un accueil merveilleux, par exemple dans l’habillement ou l’architecture. Après tout, il y a beaucoup de bâtiments symétriques, mais la célèbre tour penchée de Pise est légèrement inclinée, et bien qu’elle ne soit pas la seule, c’est l’exemple le plus célèbre. On sait que cela est arrivé par hasard, mais cela a son propre charme.

En outre, il est évident que les visages et les corps des personnes et des animaux ne sont pas non plus complètement symétriques. Même des études ont été menées, selon lesquelles les «bonnes» personnes étaient considérées comme inanimées ou simplement peu attrayantes. Néanmoins, la perception de la symétrie et ce phénomène en soi sont étonnants et encore mal compris, et donc extrêmement intéressants.

Types de symétrie

Nous discutons également de certains types de symétrie afin d’étudier pleinement ce concept. Ils sont divisés comme suit:

  • Axiale. L'axe de symétrie est la ligne passant par le centre du corps. Comment est ce Si vous superposez les pièces autour de l'axe de symétrie, elles seront égales. Ceci peut être vu dans l'exemple d'une sphère.
  • Miroir L'axe de symétrie est ici la droite, par rapport à laquelle le corps peut être réfléchi et obtenir la cartographie inverse. Par exemple, les ailes de papillon sont symétriques.
  • Central. L'axe de symétrie est un point situé au centre du corps, par rapport auquel, lors de toutes les transformations, les parties du corps sont égales lorsqu'elles se superposent.

    Histoire de la symétrie

    Le concept même de symétrie est souvent le point de départ des théories et hypothèses de scientifiques de l'Antiquité, convaincus de l'harmonie mathématique de l'univers ainsi que de la manifestation du principe divin. Les Grecs de l'Antiquité croyaient sacrément que l'Univers est symétrique, parce que la symétrie est magnifique. L'homme a longtemps utilisé l'idée de symétrie dans sa connaissance de l'image de l'univers.

    Au Ve siècle avant notre ère, Pythagore considérait la sphère comme la forme la plus parfaite et pensait que la Terre avait la forme d'une sphère et se déplaçait de la même manière. Il pensait également que la Terre se déplaçait sous la forme d’une sorte de "feu central" autour duquel 6 planètes (connues à cette époque), la Lune, le Soleil et toutes les autres étoiles devaient tourner.

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    Et le philosophe Platon considérait les polyèdres comme la personnification de quatre éléments naturels:

    • tétraèdre - feu, puisque son sommet est dirigé vers le haut,
    • le cube est la terre, parce que c'est le corps le plus stable,
    • l'octaèdre est de l'air, il n'y a pas d'explication
    • l'icosaèdre est de l'eau, car le corps n'a pas de formes géométriques brutes, d'angles, etc.
    • l'image de l'univers entier était le dodécaèdre.

    A cause de toutes ces théories, les polyèdres réguliers sont appelés corps de Platon.

    Les architectes de la Grèce antique ont utilisé la symétrie. Tous leurs bâtiments étaient symétriques, comme en témoignent les images de l'ancien temple de Zeus à Olympie.

    L'artiste néerlandais M.K. Escher a également eu recours à la symétrie dans ses peintures. En particulier, une mosaïque de deux oiseaux qui volent vers est devenue la base du tableau "Jour et nuit".

    De plus, nos historiens de l’art n’ont pas négligé les règles de symétrie, comme le montre l’exemple de la peinture de V. Vasnetsov «Les héros».

    Que puis-je dire, la symétrie est un concept clé pour tous les artistes au cours de nombreux siècles, mais au 20ème siècle, tous les scientifiques du monde ont également compris sa signification. Les preuves exactes sont les théories physiques et cosmologiques, par exemple, la théorie de la relativité, la théorie des cordes, absolument toute la mécanique quantique. À partir de l'époque de l'ancienne Babylone et jusqu'aux découvertes avancées de la science moderne, les voies de l'étude de la symétrie et de la découverte de ses lois fondamentales sont tracées.

    Symétrie des formes et des corps géométriques.

    Examinons de plus près les corps géométriques. Par exemple, l'axe de symétrie d'une parabole est une ligne droite passant par son sommet et disséquant ce corps en deux. Cette figure a un seul axe.

    Et avec des figures géométriques, la situation est différente. L'axe de symétrie du rectangle est également une ligne droite, mais il en existe plusieurs. Vous pouvez dessiner un axe parallèle aux segments de longueur ou la longueur. Mais pas si simple. Ici, la ligne n'a pas d'axes de symétrie, car son extrémité n'est pas définie. Seule une symétrie centrale pourrait exister, mais, par conséquent, il n'y en aura pas.

    Vous devez également savoir que certains corps ont de nombreux axes de symétrie. C'est facile à deviner. Vous n’avez même pas besoin de parler du nombre d’axes de symétrie d’un cercle. Toute ligne passant par le centre du cercle est telle, et ces lignes sont un nombre infini.

    Certains quadrangles peuvent avoir deux axes de symétrie. Mais le second devrait être perpendiculaire. Cela se produit dans le cas d'un losange et d'un rectangle. Dans le premier axe de symétrie - diagonales et dans le second - les lignes du milieu. Beaucoup de ces axes ne sont que sur la place.

    Symétrie dans la nature

    La nature frappe par de nombreux exemples de symétrie. Même notre corps humain est symétrique. Deux yeux, deux oreilles, un nez et une bouche sont situés symétriquement par rapport à l'axe central du visage. Les bras, les jambes et tout le corps sont généralement disposés symétriquement par rapport à l'axe passant par le milieu de notre corps.

    Et combien d'exemples nous entourent constamment! Ce sont des fleurs, des feuilles, des pétales, des légumes et des fruits, des animaux et même les nids d'abeilles des abeilles ont une forme géométrique et une symétrie prononcées. Toute la nature est arrangée de manière ordonnée, chaque chose a sa place, ce qui confirme encore une fois la perfection des lois de la nature, dans lesquelles la symétrie est la condition principale.

    Nous sommes constamment entourés de tout phénomène et objet, par exemple un arc-en-ciel, une goutte, des fleurs, des pétales, etc. Leur symétrie est évidente, dans une certaine mesure, elle est due à la gravité. Souvent dans la nature, le terme «symétrie» est compris comme le changement régulier du jour et de la nuit, des saisons, etc.

    Des propriétés similaires sont observées partout où il y a ordre et égalité. En outre, les lois de la nature elles-mêmes - astronomiques, chimiques, biologiques et même génétiques - sont soumises à certains principes de symétrie, du fait qu’elles ont une cohérence parfaite, ce qui signifie que l’équilibre a une échelle globale. Par conséquent, la symétrie axiale est l’une des lois fondamentales de l’univers dans son ensemble.

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