Conseils utiles

Comment trouver le coefficient angulaire?

Coefficient d'angle de ligne - coefficient caractérisant le degré de pente de la ligne. Coefficient k dans l'équation y = kx + b ligne sur le plan des coordonnées, numériquement égale à la tangente de l'angle (constituant la plus petite rotation de l'axe Ox à l'axe Oy) entre la direction positive de l'axe des abscisses et cette droite

Problème: Trouver la pente de la droite donnée par l’équation 36x - 18y = 108

Solution: Transformez l'équation originale.

Réponse: La pente souhaitée de cette ligne est 2.

Si, au cours des transformations de l'équation, nous obtenons une expression de type x = const et que, par conséquent, nous ne pouvons pas représenter y en fonction de x, nous avons affaire à une ligne parallèle à l'axe des X. Le coefficient angulaire d'une telle ligne est l'infini.

Pour les lignes exprimées par une équation de type y = const, la pente est zéro. Ceci est typique des lignes droites parallèles à l'axe des abscisses. Par exemple:

Sens géométrique

Pour une meilleure compréhension, reportez-vous à l'image:

Dans la figure, nous voyons un graphique d'une fonction de type y = kx. Pour simplifier, prenons le coefficient c = 0. Dans le triangle OAV, le rapport du côté de la VA à la AO sera égal au coefficient angulaire k. Dans le même temps, le rapport VA / AO est la tangente d'un angle aigu α dans un triangle rectangle de OAV. Il s'avère que le coefficient angulaire de la ligne est égal à la tangente de l'angle que cette ligne forme avec l'axe des abscisses de la grille de coordonnées.

En résolvant le problème de la recherche du coefficient angulaire d’une droite, nous trouvons la tangente de l’angle qui la sépare de l’axe X de la grille de coordonnées. Les cas limites lorsque la droite en question est parallèle aux axes de coordonnées confirment ce qui précède. En effet, pour la droite décrite par l'équation y = const, l'angle entre elle et l'axe des abscisses est égal à zéro. La tangente de l'angle zéro est également égale à zéro et le coefficient angulaire est également égal à zéro.

Pour les droites perpendiculaires à l'axe des abscisses et décrites par l'équation x = const, l'angle entre elles et l'axe des X est de 90 degrés. La tangente d'un angle droit est égale à l'infini, ainsi que le coefficient angulaire de ces lignes est égal à l'infini, ce qui confirme ce qui précède.

Coefficient d'angle tangent

Une tâche courante, souvent rencontrée dans la pratique, consiste également à trouver le coefficient angulaire de la tangente au graphe de la fonction à un moment donné. La tangente étant une ligne, le concept de coefficient angulaire lui est également applicable.

Pour comprendre comment trouver le coefficient angulaire d’une tangente, il faut rappeler le concept de dérivée. La dérivée de toute fonction en un point donné est une constante numériquement égale à la tangente de l'angle formé entre la tangente au point spécifié du graphe de cette fonction et l'axe des abscisses. Il s’avère que pour déterminer le coefficient angulaire de la tangente au point x0, nous devons calculer la valeur de la dérivée de la fonction originale à ce point k = f '(x0) Prenons un exemple:

Calculateur de rapport d'angle

Calculateur en ligne pour trouver le coefficient angulaire d'une ligne droite. Trouvez facilement votre pente en ligne

  • Une ligne droite augmente si elle monte de gauche à droite. Le coefficient d'angle est positif, k>0.
  • Une ligne droite diminue si elle descend de gauche à droite. Le coefficient angulaire est négatif, k k = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
    (ou)
    k = (Y1 - Y2) / (X1 - X2)

  • k = coefficient angulaire de la ligne,
  • X1, X2 = coordonnées X,
  • Y1, Y2 = coordonnées Y.

Un exemple de trouver le coefficient angulaire:

Supposons qu'une ligne passe par deux points: P = (1, 2) et Q = (13, 8). Diviser la différence y-coordonner pour la différence x-coordinate, vous pouvez obtenir le coefficient angulaire de la ligne:

  • k= (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
  • = (8-2)/(13-1)
  • = 6/12
  • = 1/2

Comme la pente est positive, la direction de la ligne augmente. Depuis | k | k= (Y2 - Y1) / (X2 - X1)

  • = (21-15)/(3-4)
  • = 6/-1
  • = — 6
  • Comme la pente est négative, la ligne droite diminue. Depuis | k |> 1, la pente de la ligne est assez raide (pente> 45 °).

    Synonymes: pente, tangente, pente de la ligne, pente

    La pente de la ligne et la pente de la ligne

    Avant d'écrire une telle équation, il est nécessaire de déterminer l'angle d'inclinaison de la ligne par rapport à l'axe O x avec son coefficient angulaire. Supposons qu'un système de coordonnées cartésien O x sur un plan est donné.

    L'angle d'inclinaison de la ligne par rapport à l'axe O x situé dans le repère cartésien O x y sur le plan, il s’agit de l’angle qui est mesuré de la direction positive O x à la ligne dans le sens anti-horaire.

    Lorsque la ligne est parallèle à O x ou s'il y a une correspondance, l'angle d'inclinaison est égal à 0. Alors la pente de la droite donnée α est définie sur l'intervalle [0, π).

    Coefficient d'angle de ligne Est la tangente de l'angle de la droite donnée.

    La désignation standard est la lettre k. De la définition, nous obtenons que k = t g α. Quand la ligne est parallèle à Oh, ils disent que la pente n'existe pas, puisqu'elle va à l'infini.

    Le coefficient angulaire est positif lorsque le graphique de la fonction augmente et inversement. La figure montre diverses variations de l'emplacement de l'angle droit par rapport au système de coordonnées avec la valeur du coefficient.

    Pour trouver cet angle, il est nécessaire d'appliquer la définition du coefficient angulaire et de calculer la tangente de l'angle d'inclinaison dans le plan.

    Calculez la pente d'une droite avec un angle d'inclinaison de 120 °.

    De la condition nous avons que α = 120 °. Par définition, il est nécessaire de calculer le coefficient angulaire. On le trouve dans la formule k = t g α = 120 = - 3.

    Si le coefficient angulaire est connu et qu'il est nécessaire de trouver l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe des abscisses, il convient de prendre en compte la valeur du coefficient angulaire. Si k> 0, l'angle de la ligne est net et se trouve à l'aide de la formule α = a r c t g k. Si k 0, l'angle est obtus, ce qui donne le droit de le déterminer par la formule α = π - a r c t g k.

    Déterminez l’angle d’inclinaison d’une droite donnée par rapport à O x avec un coefficient angulaire de 3.

    De la condition que nous avons que la pente est positive, ce qui signifie que l'angle d'inclinaison par rapport à O x est inférieur à 90 degrés. Les calculs sont effectués selon la formule: α = a r c tg k = a r c t g 3.

    Réponse: α = a r c t g 3.

    Trouvez l'angle d'inclinaison de la ligne par rapport à l'axe O x, si le coefficient angulaire = - 1 3.

    Si nous prenons la lettre k pour la désignation du coefficient angulaire, alors α est l'angle d'inclinaison par rapport à une droite donnée dans la direction positive О x. D'où k = - 1 3 0, alors il faut appliquer la formule α = π - a r c t g k En substituant, on obtient l'expression:

    α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

    La réponse est: 5 π 6 .

    Équation à coefficient angulaire

    Une équation de la forme y = k · x + b, où k est un coefficient angulaire et b est un nombre réel, est appelée l'équation d'une ligne avec un coefficient angulaire. L'équation est caractéristique de tout axe rectiligne non parallèle O y.

    Si nous considérons en détail la droite sur le plan dans un système de coordonnées fixe, qui est donné par une équation avec un coefficient angulaire, qui a la forme y = k · x + b. Dans ce cas, cela signifie que les coordonnées de tout point de la ligne correspondent à l'équation. Si nous substituons les coordonnées du point M, M 1 (x 1, y 1), dans l'équation y = k · x + b, dans ce cas, la ligne passera par ce point, sinon le point n'appartient pas à la ligne.

    Une ligne avec un coefficient angulaire y = 1 3 x - 1 est donnée. Calculez si les points M 1 (3, 0) et M 2 (2, - 2) appartiennent à une ligne donnée.

    Il est nécessaire de substituer les coordonnées du point M 1 (3, 0) dans l’équation donnée, on obtient 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. L'égalité est vraie, alors le point appartient à la ligne.

    Si nous substituons les coordonnées du point M 2 (2, - 2), nous obtenons une égalité incorrecte de la forme - 2 = 1 3 · 2 - 1 - 2 = - 1 3. On peut en conclure que le point M2 n'appartient pas à la ligne.

    La réponse est: M 1 appartient à la ligne, mais pas M 2.

    On sait que la ligne est définie par l'équation y = k. X + b passant par M 1 (0, b) et que, substituée, on obtient l'égalité de la forme b = k. 0 + b ⇔ b = b. Nous pouvons en conclure que l’équation d’une ligne de coefficient angulaire y = k + x dans le plan définit une ligne passant par le point 0, b. Il forme un angle α avec la direction positive de l'axe O x, où k = t g α.

    Considérons, par exemple, une ligne définie à l'aide d'un coefficient angulaire défini par la forme y = 3 x x 1. Nous obtenons que la ligne passe par le point de coordonnée 0, - 1 avec une pente de α = a ctg 3 = π 3 radians dans la direction positive de l'axe O x. Cela montre que le coefficient est 3.

    Equation d'une ligne de coefficient angulaire passant par un point donné

    Il est nécessaire de résoudre le problème où il est nécessaire d’obtenir l’équation d’une ligne à coefficient angulaire donné passant par le point M 1 (x 1, y 1).

    L'égalité y 1 = k · x + b peut être considérée comme juste puisque la ligne passe par le point M 1 (x 1, y 1). Pour supprimer le nombre b, il est nécessaire de soustraire l’équation avec un coefficient angulaire des côtés gauche et droit. Il en résulte que y - y 1 = k · (x - x 1). Cette égalité s'appelle l'équation d'une ligne de coefficient angulaire k donné passant par les coordonnées du point M 1 (x 1, y 1).

    Faites l'équation d'une ligne passant par le point M 1 avec les coordonnées (4, - 1), avec un coefficient angulaire égal à - 2.

    La solution

    Par hypothèse, nous avons que x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Par conséquent, l'équation de la ligne est écrite de cette manière y - y 1 = k · (x - x 1) y - (- 1) = - 2 · (x - 4) y = - 2 x + 7.

    La réponse est: y = - 2 x + 7.

    Écris l'équation d'une ligne de coefficient angulaire passant par le point M 1 dont les coordonnées (3, 5) sont parallèles à la droite y = 2 x - 2.

    Par hypothèse, nous avons que les lignes parallèles ont des angles d'inclinaison coïncidents, ce qui signifie que les coefficients angulaires sont égaux. Pour trouver le coefficient angulaire à partir de cette équation, il est nécessaire de rappeler sa formule de base y = 2 x - 2, ce qui implique que k = 2. Nous composons une équation avec un coefficient angulaire et nous obtenons:

    y - y 1 = k. (x - x 1) y - 5 = 2. (x - 3) y = 2 x - 1

    Passage de l'équation d'une droite à coefficient angulaire à d'autres types d'équations d'une droite et inversement

    Une telle équation n'est pas toujours applicable à la résolution de problèmes, car son enregistrement est peu pratique. Pour ce faire, il est nécessaire de présenter sous une forme différente. Par exemple, une équation de la forme y = k · x + b ne permet pas d’écrire les coordonnées du vecteur directeur de la ligne ni les coordonnées du vecteur normal. Pour ce faire, vous devez apprendre à représenter des équations d'un type différent.

    Nous pouvons obtenir l'équation canonique d'une ligne sur un plan en utilisant l'équation d'une ligne avec un coefficient angulaire. Nous obtenons x - x 1 a x = y - y 1 a y. Il est nécessaire de transférer le terme b à gauche et de le diviser par l'expression de l'inégalité obtenue. On obtient alors une équation de la forme y = kx + b ⇔ y - b = kxxkxx = y - bkx1 = y - bk.

    L'équation d'une ligne à coefficient angulaire est devenue l'équation canonique de cette ligne.

    Réduit l'équation d'une ligne droite avec un coefficient angulaire y = - 3 x + 12 à la forme canonique.

    Nous calculons et représentons la droite sous la forme de l'équation canonique. Nous obtenons une équation de la forme:

    y = - 3 x + 12 - 3 x = y - 12 - 3 x - 3 = y - 12 - 3 x 1 = y - 12 - 3

    Réponse: x 1 = y - 12 - 3.

    L'équation générale de la droite est plus facile à obtenir à partir de y = k · x + b, mais il faut pour cela effectuer les transformations suivantes: y = k · x + b k · x - y + b = 0. Une transition est faite de l'équation générale de la ligne à des équations d'un type différent.

    Une équation directe de la forme y = 1 7 x - 2 est donnée. Savoir si un vecteur de coordonnées a → = (- 1, 7) est un vecteur de ligne normal?

    Pour le résoudre, il est nécessaire de passer à une autre forme de cette équation, pour cela nous écrivons:

    y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

    Les coefficients avant les variables sont les coordonnées du vecteur ligne normale. Nous l’écrivons comme ceci n → = 1 7, - 1, d’où 1 7 x - y - 2 = 0. Il est clair que le vecteur a → = (- 1, 7) est colinéaire au vecteur n → = 1 7, - 1, puisque nous avons une relation juste a → = - 7 · n →. Il en résulte que le vecteur d'origine a → = - 1, 7 est le vecteur normal de la ligne 1 7 x - y - 2 = 0, ce qui signifie qu'il est considéré comme un vecteur normal pour la ligne y = 1 7 x - 2.

    Nous résolvons le problème inverse de celui-ci.

    Il est nécessaire de passer de la forme générale de l'équation A x + B y + C = 0, où B 0, à l'équation à coefficient angulaire. pour cela nous résolvons l'équation par rapport à y. Nous obtenons A x + B y + C = 0 - A B · x - C B.

    Le résultat est une équation avec un coefficient angulaire égal à - A B.

    Une équation directe de la forme 2 3 x - 4 y + 1 = 0 est donnée. Obtenez l'équation de cette ligne avec un coefficient angulaire.

    En fonction de la condition, il est nécessaire de résoudre par rapport à y, on obtient alors une équation de la forme:

    2 3 x - 4 y + 1 = 0 4 y = 2 3 x + 1 y = 1 4 · 2 3 x + 1 y = 1 6 x + 1 4.

    Réponse: y = 1 6 x + 1 4.

    L'équation de la forme x a + y b = 1, appelée l'équation d'une ligne droite segmentée, ou la forme canonique de la forme x - x 1 a x = y - y 1 a y, est résolue de la même manière. Il est nécessaire de le résoudre par rapport à y, alors seulement nous obtenons une équation avec un coefficient angulaire:

    x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a y = - b a. x + b.

    L'équation canonique peut être réduite à une forme avec un coefficient angulaire. Pour faire ceci:

    x - x 1 ax = y - y 1 ay ay · (x - x 1) = ax · (y - y 1) ax · y = ay · x - ay · x 1 + ax · y 1 ⇔ y = ayax x - ayax x 1 + y 1

    Il y a une ligne définie par l'équation x 2 + y - 3 = 1. Apportez des équations avec un coefficient angulaire à la forme.

    Sur la base de la condition, il est nécessaire de transformer, puis nous obtenons une équation de la forme _formula_. Les deux parties de l'équation doivent être multipliées par -3 afin d'obtenir l'équation nécessaire avec un coefficient angulaire. En transformant, on obtient:

    y - 3 = 1 - x 2 - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 y = 3 2 x - 3.

    La réponse est: y = 3 2 x - 3.

    Une équation directe de la forme x - 2 2 = y + 1 5 conduit à une vue avec un coefficient angulaire.

    Il est nécessaire de calculer l'expression x - 2 2 = y + 1 5 sous forme de proportion. Nous obtenons que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Maintenant, vous devez le résoudre complètement, pour cela:

    5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) 5 x - 10 = 2 y + 2 2 y = 5 x - 12 y = 5 2 x

    Réponse: y = 5 2 x - 6.

    Pour résoudre de tels problèmes, il convient d’apporter à l’équation canonique de la droite les équations paramétriques d’une droite de la forme x = x 1 + a x.λ, = y 1 + a y.

    Trouvez la pente de la droite si elle est donnée par les équations paramétriques x = λ y = - 1 + 2 · λ.

    Il est nécessaire de passer d'une vue paramétrique à un coefficient angulaire. Pour ce faire, on trouve l'équation canonique à partir du paramétrique donné:

    x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 x 1 = y + 1 2.

    Il faut maintenant résoudre cette égalité par rapport à y pour obtenir l’équation d’une droite à coefficient angulaire. pour cela nous écrivons de cette façon:

    x 1 = y + 1 2 2. x = 1. (y + 1) y = 2 x - 1

    Il s'ensuit que la pente de la ligne droite est 2. Ceci est écrit comme k = 2.

    Regarde la vidéo: Déterminer une équation de droite - Maths seconde - Les Bons Profs (Novembre 2019).